1A. المتجهات *- المفهوم: االتجاه هو عبارة عن متجه الوحدة. حيث أن اتجاه المتجه A يعرف بالصيغة التالية:

Transcript

1 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 1A المتجهات *- المفهم: االتجاه ه عبارة عن متجه الحدة حيث أن اتجاه المتجه A يعرف بالصيغة التالية: يقصد بذلك أن متجه الحدة يقع على طل المتجه A يشير بنفس اتجاه المتجه A أيضا )ليس باتجاه A-) 1-1A: أجد القيمة العددية االتجاه الصحيح )اعتمد الصيغة في األعلى( للمتجهات التالية: (c متجه حدة 2-1A ما هي قيمة/قيم c التي تجعل الصيغة 1A-3 أجد قيمة االتجاه a) إذا كانت قيمته العددية 6 اتجاهه فإذا كان ذيل هذا المتجه عند النقطة فأين يقع A متجه رأسه 1A-4 a) لتكن النقطتين Q P تقعان في الفضاء X هي نقطة المنتصف بين النقطتين Q P لتكن النقطة O هي نقطة ما ثابتة بي ن صحة العالقة بين المتجهات r : s بالنسبة PQ تقسم القطعة المستقيمة X افترض أن النقطة ) باالعتماد على التعبير الرياضي للجزء السابق b) حيث = 1 s r + أجد التعبير الرياضي ل OX باستخدام OP OQ 5-1A أجد المركبات المافقة ل i j للمتجه A الذي يبلغ طله 3 يقع في مستي إحداثيات حيث أن هذا المتجه يك ن زاية مقدارها 30 مع متجه الحدة (i) زاية مقدارها 60 مع متجه الحدة (j) هل الشرط الثاني عديم األهمية مجمعة 10- المتجهات المصففات 1

2 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 6-1A طائرة صغيرة تحال التحليق باتجاه الشمال بسرعة 200 )ميل \ساعة( "كما ينظر إليها من مستى االرض" بينما يجد تيار هائي من جهة الشمال الشرقي يجري بسرعة 50 )ميل \ساعة( أجد السرعة االتجاهية الالزمة للطائرة لكي تستطيع التحليق )اجد الناتج بالنسبة إلى المركبتين i j( Aʹ b a ليكن في متجه مستي اإلحداثيات أجد المتجهين باستخدام الناتجين عن ʹʹ A 1A-7 تدير المتجه A مقدار 90 : a) مع عقارب الساعة b) عكس عقارب الساعة )تلميح: اجعل المتجه A قطر لمستطيل أضالعه على المحار x y من ثم أدر كامل المستطيل( j' لتكن أثبت أن 'i ه متجه حدة استخدم الجزء األل من هذا التمرين إليجاد المتجه (c ذلك بحيث يكن المتجهين 'i 'j يمثالن محران متعامدان لمستي إحداثيات 8-1A في االستخدامات الهندسية غالبا ما يعبر عن اتجاه المتجه في الفضاء )انظر المفهم في األعلى( بجيب تمام ه متجه في الفضاء أيضا متجه من نقطة المبدأ لتكن α الزاية إليضاح ذلك سنعتبر أن β ɤ ثالث زايا التي تمثل الزايا التي يك نها المتجه A مع j i k بالترتيب a) أثبت أن )المعامالت الثالثة تسمى جيب تمام زاية االتجاه للمتجه ) A b) عبر عن جيب تمام زاية االتجاه للمتجه A بالمعامالت أجد جيب تمام زاية االتجاه للمتجه c) برهن أن األرقام الثالثة هي جيب تمام زاية االتجاه لمتجه في الفضاء ذلك فقط فقط إذا كانت هذه األرقام تحقق المعادلة 9-1A أثبت باستخدام طريقة المتجهات )بدن استخدام المركبات( أن القطعة المستقيمة التي تصل بين منتصف ضلعي مثلث تكن مازية للضلع الثالث يبلغ طلها نصف طل هذا الضلع )الثالث( ( اعتبر الضلعين هما A ) B 10-1A أثبت باستخدام طريقة المتجهات )بدن استخدام المركبات( أن نقاط المنتصف ألضال ككل رباعي في الفضاء تشكل متازي األضال 11-1A أثبت باستخدام طريقة المتجهات )بدن استخدام المركبات( أن أقطار متازي األضال تنصف بعضها البعض ( إحدى الطرق هي باعتبار النقطتين X Y هما منتصف قطري متازي األضال بالتالي أثبت أن ) X=Y مجمعة 10- المتجهات المصففات 2

3 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت *12-1A الرؤس األربعة للمتازي األضال هي OPQR بالترتيب عكس عقارب الساعة أثبت أن القطعة المستقيمة من النقطة O إلى منتصف المسافة بين PQ تقطع القطر PR عند النقطة X التي تقع على بعد 1/3 من الرأس P إلى ( B A لتكن عبر عن كل كيء بالنسبة ل ( R 1A-13* a) مثلث رؤسه PQR على المستي اإلحداثي أثبت كمتجهات أن عامدي عليه يتجه إلى خارج المثلث بشكل مشابه استخدم PQ متجه له نفس طل A ليكن ) تابع الجزء b) المتجهين B C للضلعين اآلخرين أثبت أن )الحل عبارة عن جملة احدة بدن أية عمليات حسابية( *14-1A عم م األجزاء,a) من التمرين السابق لتك ن مضلع مغلق في مستي اإلحداثيات بحيث ال يقطع المضلع نفسه )أي أن المضلع له منطقة داخلية احدة( سم ي رؤس هذا المضلع (P1,P2,P3, Pn) بالترتيب *15-1A لتكن النقاط P2,,Pn),P1) هي رؤس مضلع عدد أضالعه n في المستي اإلحداثي لتكن النقطة O هي مركز هذا المضلع أظه ر بدن القيام بالعمليات الحسابية أ معرفة اإلحداثيات أن : ذلك: a) إذا كانت n رقم زجي b) إذا كانت n عدد فردي مجمعة 10- المتجهات المصففات 3

4 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 1B الضرب النقطي )القياسي( 1-1B أجد الزاية المحصرة بين المتجهات التالية: : c التي تجعل المتجهين 2-1B ما هي قيم a) متعامدين b) يشكالن زاية حادة 3-1B باستخدام المتجهات أجد الزاية المحصرة بين أطل قطر PQ لمكعب : a) القطر PR ألحد أجه المكعب b) الضلع PS لنفس المكعب )اختر حجم مقع المكعب بطريقة تجعل العمليات الحسابات سهلة( 4-1B ثالث نقط في الفضاء: a) زاية قائمة b) زاية حادة PQR تشكل : ما هي قيم التي تجعل النقاط في: 5-1B أجد مركبة القة التالية االتجاه b) اتجاه المتجه 6-1B لتكن النقطة O هي نقطة المبدأ حيث c ه رقم معطى u ه اتجاه معطى ( أي أنه متجه حدة( اكرح هندسيا بتعبير أدق أجد قيم c التي تجعل مضع مضع جميع النقاط P في الفضاء التي تحقق معادلة المتجه النقاط يشكل: { OP فارغا أ خاليا } تلميح: قسم على c) كعا "اي نصف خط" b) مستي إحداثيات a) 1B-7 هما متجهي حدة متعامدين يشكالن الطرف األيمن من مستي اإلحداثيات a) أثبت أن ( مجمعة 10- المتجهات المصففات 4

5 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت b) عبر عن المتجه بالنسبة إلى متجهي الحدة ذلك باستخدام الضرب النقطي )القياسي) c) أعد حل الجزء ) لكن بطريقة مختلفة ذلك عن طريق إيجاد الحل بالنسبة لمتجهي الحدة بمتجهي الحدة من ثم عض بالناتج في معادلة المتجه A معبرا عنهما هي متجهات حدة متعامدة على بعضها البعض تشكل 8-1B المتجهات الجزء األيمن من مستي اإلحداثيات: a) أثبت ذلك b) عب ر عن المتجه في نظام المحار هذا )راجع التمرين )1B-7b B هما متجهين على مستي اإلحداثيات مع مراعاة أن كالهما ليس مضاعفا لألخر عب ر عن B A ليكن 9-1B كمجم متجهين أحدهما ه مضاعف للمتجه A اآلخر ه متجه عمدي على المتجه A ( أجد الجاب معبرا عنه بالمتجهين A B( ( تلميح: لتكن ما هي المركبة u للمتجه ) B 10-1B أثبت باستخدام طريقة المتجهات )بدن استخدام المركبات( أن أقطار الشكل متازي األضال لديها نفس الطل فقط إذا كان هذا الشكل ه مستطيل 11-1B أثبت باستخدام طريقة المتجهات )بدن استخدام المركبات( أن أقطار الشكل متازي األضال متعامدة فقط إذا كان هذا الشكل ه معين )حيث أن أطال األضال األربعة للمعين متساية( 12-1B أثبت باستخدام طريقة المتجهات )بدن استخدام المركبات( أن أي زاية محيطية لنصف دائرة هي زاية قائمة 13-1B أثبت صحة الدالة المثلثية )تلميح: اعتبر أن متجهي حدة يشكال الزايا ) مع المحر X المجب( 1B-14 أثبت صحة قانن جيب تمام الزاية للضرب النقطي )القياسي( باإلضافة إلى مفهمه الهندسي ذلك باستخدام القانن الجبري مجمعة 10- المتجهات المصففات 5

6 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت *15-1B "عدم المسااة ل )كشي- شارز(" أثبت من التعريف الهندسي للضرب النقطي )القياسي( معادلة عدم المسااة للمتجهات التالية المجدة إما على المستي اإلحداثي أ في الفضاء: )*( ما هي الظرف التي تجعل هذه المعادلة "معادلة مسااة" b) إذا كانت هذه المتجهات هي متجهات على المستي اإلحداثي اكتب معادلة عدم المسااة لهذا الشرط عبر عن ذلك لهذه المتجهات بالمركبات c) أعط حال آخر لمعادلة عدم المسااة السابقة )*( باتبا ما يلي )هذا الحل يعمم إلى فضاء متعدد األبعاد(: i) لجميع قيم t يكن لدينا )i) استخدم القانن الجبري للضرب النقطي )القياسي( ذلك لكتابة الصيغة الرياضية في الجزء (ii كمعادلة من الدرجة الثانية معب را عنها ب t )جذرا ( (iii متعدد الحدد التي حصلنا عليها من الجزء( i ) تحي على األكثر صفرا احدا هذا يدل على أن معامالت المعادلة التربيعية يجب أن تحقق معادلة عدم مسااة معينة ما هي مجمعة 10- المتجهات المصففات 6

7 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 1C المحددات a) احسب قيمة المحددات التالية: 1-1C 2-1C احسب ذلك باستخدام مفكك )البالس( عن العامل المساعدة ل : a) الصف األل b) العامد األل 3-1C أجد مساحة المثلث المجد على مستي اإلحداثيات الذي رؤسه تقع عند النقط التالية: - - = 4-1C أثبت أن "هذا الن من المحددات يسمى ب)محددة فاندرمندي(" 1C-5 a) أثبت أن قيمة محددة "2x2" هي قيمة ال تتغير إذا أضفنا إلى الصف الثاني فيها مضاعفات القيمة العددية للصف األل b) نفس السؤال في الجزء السابق ) بتطبيق التغيير على األعمدة بدال من الصفف استخدم مفكك )البالس( التمرين 5a إلثبات أن قيمة محددة 3x3 هي قيمة ال تتغير إذا أضفنا إلى الصف 1C-6 الثاني فيها مضاعف الصف الثالث متجهي حدة أجد أكبر قيمة للدالة 7-1C ليكن مجمعة 10- المتجهات المصففات 7

8 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت *8-1C إذا كانت قاعدة متازي األسطح هي متازي األضال الذي أضالعه هي المتجهات b c الضلع الثالثة لمتازي األسطح هي المتجه a )ذيل المتجهات الثالثة تنطلق من نفس الرأس(: a) أثبت أن حجم متازي األسطح abc ه أثبت أن : )المحددة التي صففها عبارة عن مركبات المتجهات الثالثة a,b,c على التالي( )الجزئين السابقين هما اثبات ل (3) " تفسير حجم المحددة 3x3 ( استعمل المعادلة الرياضية في التمرين (8-1C) لحساب حجم رباعي األسطح الذي رؤسه األربعة 1C-9 هي: )حجم رباعي األسطح = 0/3 )القاعدة( )االرتفا (( 10-1C باالعتماد على التمرين )8( أثبت أنه من أجل ثالثة متجهات من نقطة المبدأ تقع على نفس المستي اإلحداثي تكن المحددة التي تحتي على المتجهات الثالثة كصففها الثالثة تساي صفر مجمعة 10- المتجهات المصففات 8

9 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 1D الضرب االتجاهي إذا: 1-1D أجد 2-1D أجد مساحة المثلث المجد في الفضاء الذي رؤسه هي النقاط: 3-1D متجهان 'i 'j للطرف األيمن من مستي اإلحداثيات لديهما نفس اتجاه المتجهين : بالترتيب أجد المتجهات الثالثة 'i 'j 'k 4-1D برهن أن الضرب االتجاهي في الحالة العامة ال يحقق الخاصية التجميعية )الدمج( أي باستخدام المتجهات i i j أثبت أن: B: A ما الذي يمكنك أن تستخلصه عن المتجهين 5-1D إذا كان إذا كان 6-1D ثالثة أجه لمكعب حدة تشترك بنفس الرأس P كل جه من هذه األجه لديه قطر ينتهي عند النقطة P ما ه حجم متازي األسطح الذي لديه هذه األقطار الثالثة كأضال ذات حدد مشتركة 7-1D أجد حجم رباعي السطح الذي تقع رؤسه عند النقاط األربعة اآلتية: )تلميح: حجم رباعي األسطح = 1/6 )حجم متازي األسطح الذي لديه نفس الحاف الثالثة ذات الحدد المشتركة( ذلك باستخدام صيغة 8-1D أثبت أن متجهات القانين الجبرية للمحددات المجد في الملحق D للمحاضرة 10 المحدد للضرب القياسي )النقطي( لثالث مجمعة 10- المتجهات المصففات 9

10 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت أثبت أن مساحة المثلث المجد على مستي اإلحداثيات التي لديها رؤس عند من أجل 1D-9 أجد الحل بطريقتين مختلفتين: يمكن الحصل عليها من ناتج المحددة a) عن طريق ربط مساحة المثلث بحجم متازي سطح معين b) باستخدام قانين المحددات )راجع 1L من الملحقات( اربط هذه المحددة إلى محددة 2x2 التي يمكن أن تستخدم لحساب المساحة بشكل اعتيادي مجمعة 10- المتجهات المصففات 10

11 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 1E معادالت الخطط المستيات اإلحداثية 1-1E أجد معادالت المستيات اإلحداثية اآلتية: يمر عبر النقطة عامدي على يمرعبر نقطة المبدأ النقطتين يمرعبر النقاط (c d) يمر عبر النقاط المجد على المحار حيث "أعط الحل معبرا عنه بالصيغة تذكر هذه الصيغة " يمر بالنقطة ما ز ل (e 2-1E أجد زاية ثنائي السطح المحصرة بين المستيين 3-1E اكتب بالصيغة السيطية معادالت الخطط التالية: خط يمر عبر النقطة مازي ل خط يمر عبر النقطة عامدي على المستي معادلة جميع الخطط التي تمر بالنقطة تقع على المستي (c (2,0,3) أن يقطع المستي 4-1E أين يمكن لخط يمر بالنقطين العامدي على المستي يقطع المستي 5-1E الخط الذي يمر بالنقطة عند أي نقطة تعطى بالعالقة 6-1E أثبت أن المسافة D من نقطة المبدأ إلى المستي )تلميح: لتكن n الحدة العامدية بالنسبة للمستي P نقطة على هذا المستي ابحث في مركبة OP في اتجاه n( مجمعة 10- المتجهات المصففات 11

12 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت *7-1E ص غ طريقة عامة إليجاد المسافة بين خطين منحرفين )مائلين( ] ال يتقاطعا] في الفضاء من ثم صغها من أجل خطين غير متقاطعين يقعان على أقطار جهين متجارين من مكعب الحدة "اختر مكان المكعب ليكن في الربع األل من االحداثيات الثالثية األبعاد أحد رؤسه على نقطة المبدأ" )تلميح: أقصر قطعة مستقيمة تصل بين الخطين المنحرفين ستكن عامدية على كليهما )إذا لم تكن فيجب أن يكن هناك قطعة مستقيمة أقصر منها(( مجمعة 10- المتجهات المصففات 12

13 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 1F المصففة الجبرية أجد: ( ), ( ), 1F-1* لتكن ) ( (c مصففة حيادية بعدها برهن أن *2-1F لتكن A مصففة ما لتكن ) ) ( ( بحيث تكن ) ( 3-1F أجد كل مصففات 2x2 ل ) ( *4-1F أظهر كيف أن ضرب المصففة بشكل عام ليس له الخاصية التبادلية ذلك عن طريق حساب المصففة لكل زج من األزاج التالية: ( ), ( ) ( ) ( ) أجد 1F-5 لتكن ) ( b) افعل نفس الشي ل ) ( *6-1F لتكن جميعها مصففات 2x2 O هي مصففة 2x2 تساي صفر عبر مستخدما المصففات الخمسة السابقة عن ناتج ضرب المصففات 4x4: ) ( ) ) مجمعة 10- المتجهات المصففات 13

14 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت أثبت أنه ال تجد أي قيمة ل a b تحقق هذه الصيغة الرياضية ( ) 1F-7* لتكن ) ( 1F-8 فما هي المصففة 3x3 A ( ) ( ) ( ) ( ) إذا كانت ) ( ) ( فما هي المصففة A ( ) ( ) ( ) ( ) * إذا كانت ) ( ) ( يدعى ب المصففة المتعامدة ذلك إذا أثبت أن هذا الشرط يكافئ القل 9-1F تربيع المصففة بأن: a) كل صف من المصففة A ه متجه صف طله 0 b) صفين مختلفين هما متجهات متعامدة أكمل المصففة A *10-1F افترض أن A هي مصففة 2x2 متعامدة التي عنصرها األل ه )هناك أربعة احتماالت عد للتمرين 9( مع رفتين أجد: *11-1F إذا كانت مجمعة 10- المتجهات المصففات 14

15 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 1G حل النظم المربعة معكس المصففات لكل مما يلي: أجد المعادلة من خالل إيجاد ( ) ( ) 1G-1* 1G-2* ) ( ( ) ( ) ( ) أجد من خالل إيجاد ( ) ( ) 1G-3 4-1G باالعتماد على التمرين 3 في األعلى أجد الحل للنظام التالي: من أجل كدالة ل ( باستخدام تعريف معكس المصففة 5-1G أثبت أن *6-1G عمليات حسابية أخرى لمعكس المصففة إذا علمنا قيمة يمكننا إيجاد حل النظام من أجل بكتابة تمكنا من إيجاد الحل باستخدام طرق أخرى )مثال طريقة اإلزالة( من أجل معبرا عنها ب لكن على العكس من ذلك إذا فنحصل على من ثم يكن لدينا من ثم نستطيع إيجاد قيمة هذه الطريقة جيدة إذا كانت بالترتيب لتضيح ذلك: مصففة مثلثية علية أ سفلية- أي مصففة تحي فقط أصفار فق أ تحت القطر الرئيسي مجمعة 10- المتجهات المصففات 15

16 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت أجد عن طريق حل لتكن ) ( من أجل بالنسبة ل ( )ابدأ الحل من األسفل صعدا ( b) احسب بالطريقة المعطاة في الملحقات *7-1G اعتبر المصففة المدرة ) ( المتعلقة بدران المحرين x y بمقدار الزاية احسب قيمة بطريقة المصففة المرافقة اكرح لماذا ظهر جابك بالطريقة التي ظهر بها 1G-8* a) أثبت أن A هي مصففة متعامدة )انظر التمرين 9-1F( فقط فقط إذا كانت فإن AB هي كذلك أيضا ضح مستخدما المصففة من التمرين 7 السابق استخدم الجزء ) لتبين أنه إذا كانت A B هما مصففتان متعامدتان (c 1G-9* a) لتكن A مصففة "3x3" حيث الملحقات أجدت المعكس األيمن كل مصففة A لها أيضا معكس أيسر B )حيث أن ) أي أن أثبت أن )تلميح: خذ باالعتبار المعادلة راجع التمرين 11-1F( b) استنتج أن معبرا عن ذلك بجملة احدة )هذا يبين أن المعكس األيمن ه نفسه المعكس األيسر أيضا لذلك إذا أردت التأكد أن أي مصفتين هما معكس بعضهما عليك فقط القيام بضربهما- تلقائيا سيكن الناتج على مسايا ) *10-1G لتكن A B مصففتين إذا كانت بين أن افترض أن فما هي قيمة حيث مصففة قابلة للعكس "2x2" أعاله لكن هذه المرة بحله بالنسبة للشكل العام لمصففة 6b 6a أعد حل التمرين *11-1G بفرض أن ( ) مجمعة 10- المتجهات المصففات 16

17 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 1H قاعدة كارمر "نظريات حل النظم المربعة" 1-1H استخدم قاعدة كارمر لحل اآلتي من أجل : ) ( 2-1H باستخدام قاعدة كارمر أثبت بطريقة اخرى أنه إذا كانت المعادالت لها فقط حل بسيط هي مصففة محددتها ال تساي صفر فإن 1H-3 a) عند أي قيمة/قيم ل c ستكن ذات حل غير بسيط b) عند أي قيمة/قيم ل c ستكن ) ( ) ( ) ( ذات حل غير بسيط )اكتب الحل كمجمعة متجانسة من المعادالت( c) لكل قيمة ل c أجدتها في ) أجد حل غير بسيط للنظام المافق ) استنتج المعادالت ذلك بإيجاد متجه عمدي على ثالثة متجهات معطاة أجده باستخدام الضرب االتجاهي( d)* لكل قيمة ل c أجدتها في ) أجد حل غير بسيط للنظام المافق *4-1H أجد جميع الحلل للنظام المتجانس التالي: استخدم الطريقة المقترحة في التمرين 3c أعاله لدينا بفرض أن 5-1H افترض أنه في النظام أظهر أن لهذا النظام حلل فقط فقط إذا كانت مجمعة 10- المتجهات المصففات 17

18 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت هي حل معين للنظام أظهر أن أي حل آخر لهذا النظام يمكن كتابته على 1H-6* ليكن النح اآلتي حيث أن هي حل النظام 7-1H بفرض أننا نريد أن نجد تذبذب صافي )حركة جيبية( للتردد 0 يمر عبر نقطتين معرفتين بمعنى آخر نريد أن نحدد قيمة الثابتين التي تجعل المعادلة الرياضية: بحيث يكن لها قيم محددة عند قيمتين محددتين ل : حيث هي عدد صحيح a) أظهر أن ذلك ممكن بطريقة احدة فقط الغير إذا افترضنا أن صحيحة لعدد صحيح ما متى يمكن إيجاد قيمة ل b) إذا كانت *8-1H طريقة الكسر الجزئية إذا تم القيام بها باستخدام معامالت مجهلة ستؤدي إلى نظام من المعادالت الخطية : b,a( معطى c,d يجب حسابهما( ضع في االعتبار أبسط حالة ماهي المعادالت الخطية التي يمكنها إيجاد قيمة الثابتين c d ما هي الظرف التي تجعل هذه المعادالت الخطية احسب المحددة باستخدام حيث تعطي حال فريدا (حال أن تحل هذه المسألة بالنسبة لثالثة جذر عمليات العمد ذلك للحصل على أصفار في الصف العلي( مجمعة 10- المتجهات المصففات 18

19 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 1I داالت المتجه المعادالت الحددية النقطة P بسرعة ثابتة تتحرك باتجاه المتجه الثابت عند الزمن أصبحت النقطة عند 1I-1 أجد دالة متجه المقع لهذه النقطة ω على دائرة ذات نصف قطرها مركزها نقطة المبدأ ما عند: 2-1I نقطة تتحرك مع اتجاه عقارب الساعة بسرعة زاية هي دالة متجه المقع إذا كانت النقطة في الزمن 3-1I ص ف التحركات المعطاة بدال متجه المقع التالية بحيث للمنحنى الذي تنتقل عليه النقطة تسعى من P حدد جزء المنحنى الذي تتبعه النقطة إلى في كل حالة أعط معادلة P بدقة (c (d 4-1I لفافة مثبتة من البالستيك قطرها الخارجي الساعة النهاية تم سحب الشريط الالصق المجد عليها باتجاه عكس عقارب P من الشريط ممسكة بحيث يكن الجزء المسحب عمدي دائما على اللفافة إذا اعتبرنا أن مركز اللفافة ه نقطة المبدأ O النهاية P مبدئيا عند النقطة )استخدم المتجهات عب ر عن متجه المقع OP كدالة متجه بمتغير احد( اكتب المعادالت السيطية لحركة النقطة P P المقع المبدئي للنهاية يتم لف حبل باتجاه عقارب الساعة حل دائرة ذات قطر مركزها نقطة المبدأ O 5-1I للحبل ه الجزء الباقي من الحبل مشدد نح األسفل )بحيث يكن مماسا للدائرة( اكتب المعادلة السيطية لحركة النقطة P )استخدم المتجهات عب ر عن متجه المقع OP كدالة متجه بمتغير احد( 6-1I صياد بقس سهم يمشي باتجاه نقطة المبدأ على محر x المجب بسرعة حدة عند الزمن 1 أصبح عند في الربع األل على طل المستقيم سهمه )طله حدة( مجه دائما باتجاه أرنب يتنقل بسرعة عند الزمن 1 كان األرنب عند نقطة المبدأ: t اكتب دالة المتجه للسهم عند الزمن a) مجمعة 10- المتجهات المصففات 19

20 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت b) في أقرب نقطة من األرنب أطلق الصياد سهمه )لكنه لم يصبه!( أجد متى حدث ذلك x على دائرة ذات نصف قطر التي تدر على طل المحر P الديري ه منحنى يتشكل من نقطة ثابتة 7-1I باالتجاه المجب ابتداء من حيث كانت النقطة P عند نقطة المبدأ O أجد دالة المتجه OP استخدم الزاية التي تدر بها الدائرة كمتغير ( تلميح: ابدأ بالتعبيرعن OP كمجم ثالث دال متجه بسيطة( مجمعة 10- المتجهات المصففات 20

21 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 1J اشتقاق دال المتجه 1-1J 1 لكل من دال المتجه المتعلقة بالزمن التالية احسب السرعة المتجهة السرعة ds/dt متجه مماس الحدة )باتجاه السرعة المتجهة( العجلة )التسار (: (c هي متجه مقع لحركة ما: 2-1J لتكن T ds/dt v احسب b) عند أي نقطة تكن السرعة عظمى صغرى للمنحنى الذي تتحرك عليه النقطة ص ف هذه الحركة هندسيا c) أجد معادلة 3-1J أثبت صحة قانن اكتقاق الضرب القياسي )النقطي( لدالتي متجه على مستي اإلحداثيات: ذلك بحساب المركبات جعل 4-1J لنفرض أن النقطة P تتحرك على سطح جسيم كري الذي مركزه نقطة المبدأ لتكن: أظهر أن متجه السرعة المتجهة v عمدي دما على بطريقتين مختلفتين: a) باستخدام المحار اإلحداثية بدن االعتماد على اإلحداثيات )استخدم الصيغة الرياضية من التمرين 3-1J حيث يمكن تطبيقها في الفضاء أيضا ( برهن العكس: أنه إذا كانت r v عمديتان على بعضها فإن حركة النقطة P تكن على سطح جسيم كري (c مجمعة 10- المتجهات المصففات 21

22 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 1J-5 a) بفرض أن نقطة تتحرك بسرعة ثابتة أثبت أن متجه سرعتها المتجهة عجلتها المتجهة هما عمديان على بعضهما )استخدم الصيغة الرياضية من التمرين 3-1J( b) أظهر العكس: أنه إذا كانت متجهات السرعة المتجهة العجلة متعامدين إذا النقطة P تتحرك بسرعة ثابتة : 6-1J من أجل الحركة الللبية ds/dt T a v احسب عمديان على بعضهما اكرح باستخدام التمرين 5-1J a v أثبت أن b) 1J-7 قابلة لالكتقاق كيف يمكنك استنتاج أن السيط ه طل القس )ح سب من نقطة a) بفرض أنه لديك دالة متجه ما باتجاه المتزايد( بدن الحاجة إلى حساب صراحة كيف يجب أن يتم اختيار بحيث تكن هي طل القس إذا كانت بحيث تكن هي طل القس في الحركة الللبية التي تم مناقشتها في التمرين 6-1J c) كيف يجب اختيار 1J-8 a) أثبت صحة الصيغة التالية: )من األفضل افتراض أن هذه المتجهات تقع على المستي بالتالي احسب باستخدام المركبات( هي حركة حلزنية أسية استخدم الجزء ) إليجاد سرعة هذه الحركة b) لتكن 9-1J نقطة P تتحرك في الفضاء بمتجه المقع: a) أثبت أنها تتحرك على سطح جسيم كري b) أثبت أن سرعتها ثابتة c) أثبت أن العجلة تتجه نح نقطة المبدأ أثبت أنها تحرك على مستي قاطعة نقطة المبدأ ص ف المسار الذي تتبعه النقطة P (d (e مجمعة 10- المتجهات المصففات 22

23 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت κ لدالة متجه يعر ف بالصيغة κ التقس المجب 10-1J a) أثبت أن الحلزنية في التمرين 6-1J لها تقس ثابت )ليس من الضررة حساب صراحة احسب بدال من ذلك اربطها مع κ باستخدام قاعدة السلسلة( xy ما ه هذا التقس إذا تم تقليص الحلزن ليصبح دائرة في المستي b) مجمعة 10- المتجهات المصففات 23

24 إم أي تي التفاضل التكامل بعدة المتحالت 1K قانن ك بلر الثاني 1-1K أثبت القاعدة رقم )0( في الملحق K للمحاضرة 16 المتعلقة باكتقاق الضرب النقطي )القياسي( ل متجهي مستي: قم بالحسابات مستخدما نظام المحار ) )لتكن 2-1K لتكن هي دالة متجه أثبت باستخدام المركبات أن: حيث متجه ثابت 3-1K في الملحق K للمحاضرة 16 من خالل عكس الخطات )5(- )8( أثبت العبارة في آخر فقرة )ستحتاج إلى العبارة في التمرين 2-1K( مجمعة 10- المتجهات المصففات 24

25 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1A المتجهات 1A-1 (c 1A-2 1A-3 لتكن P هي الذيل Q هي الرأس إذا هكذا فإن 1A-4 ب استبدل من الصيغة أعاله استخدم العالقة 1A-5 الشرط مهم ليس زائدا عن الحاجة حيث أنه يجد متجهين )كعاعين( لهما الطل 3 يكنان زاية مقدارها مع المتجه 1A-6 ( ) الرياح حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 25

26 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1A-7 (c 1A-8 إلخ a) إنها من النسب المثلثية األساسية c) إذا كانت هي اتجاه جيب تمام الزاية لبعض قيم فإن بالعكس إذا تحققت هذه المعادلة فإن متجه حدة لذا هي اتجاه جيب تمام الزاية ل تمثل متجه حدة لذا 1A-9 بجعل يمثالن الضلعين فإن الضلع الثالث ه فإن المستقيم الذي يصل بين النقطتين المنصفتين ه أ هكذا فإن هذا المستقيم ه متجه ماز للضلع الثالث طله يساي نصف طل هذا الضلع 1A-10 بجعل هي مناسب فسيكن لدينا األضال األربعة فإنه إذا كانت المتجهات مجهة بشك ل بالتالي المتجه من نقطة منتصف إلى نقطة منتصف C ه بشكل مشابه المتجه الاصل بين منتصف الضلعين اآلخرين ه أيضا : حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 26

27 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت هكذا فإنه يجد ضلعين متقابلين متازيين متسايين هذا يعني أن الشكل عبارة عن متازي أضال 1A-11 بجعل هي الرؤس األربعة حيث تكن النقطة على على النقطة لذلك فإن حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 27

28 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1B الضرب النقطي )القياسي( 1B-1 1B-2 لذلك: a) تكن عمدية إذا كانت بمعنى آخر الزاية هي زاية حادة إذا كانت تشكل 1B-3 ضع المكعب في الربع األل بحيث تكن نقطة المبدأ تقع على زاية احدة فقط لتكن القطر السطحي ثالثة حاف القطر األطل 1B-4 لذلك: بالتالي فإن هي زاية قائمة إذا كانت بمعنى آخر إذا أ الزاية حادة إذا كانت بمعنى آخر أي أ إذا 1B-5 حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 28

29 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت حلها هي الزاية بين حيث فإن المعادلة تقل أن 1B-6 بعد القسمة على بالتالي فإن المضع الهندسي ه غطاء لمخرط دائري قائم له محر باالتجاه يكن على جه الخصص هذا المخرط ه: زاية رأسية هي a) مستي إذا كانت أي إذا كانت b) كعا إذا كانت أي c) غير مجد إذا كانت غير مجدة أيعندما تكن أ 1B-7 هنالك صرة تبين أن النظام على الطرف األيمن بما أنهما متجها حدة متعامدين c) بالحل فإن كما رأينا سابقا هكذا فإن 1B-8 تحقق من أن كل منهما له الطل 0 ناتج الضرب النقطي الثالثة تساي صفر قم بالرسم للتحقق من قعها على الطرف األيمن لذلك فإن بالتالي متجه المركبة ل ه بطرحها نحصل على متجه )بالتالي عمدية على أيضا ( هكذا فإن: 9-1B لتكن متعامد على ) ( أ بالتعبير عن الصيغة السابقة باستخدام : تذكر أن ( ) حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 29

30 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 10-1B لتكن حافتين متجارتين من متازي األضال هما المتجهات تذكر أنه بالنسبة ألي متجه يكن لدينا الطل: فيكن القطرين هما أن القطرين لهما نفس هذا يدل على أن الضلعين متعامدين بالتالي متازي األضال هذا ه مستطيل 1B-11 باستخدام الترميز في التمرين السابق لدينا تباعا : لذلك أي أن األقطار متعامدة على بعضها إذا فقط إذا كان هنالك حافتين متجارتين لهما نفس الطل بمعنى آخر إذا كان متازي األضال على ككل معين رأس الزاية 12-1B لتكن النقطة المحيطية اجعل هي مركز لنصف دائرة النقطتين هما نهايتي القطر منه فإن حيث 1B-13 ثم من أجل متجهات الحدة هي نحصل من التعريف الهندسي للضرب النقطي )القياسي( على: الزاية بينهم حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 30

31 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت ذلك باالستناد إلى الصيغة التي يتم عن طريقها حساب الضرب النقطي )القياسي( باستخدام المركبات 14-1B لتكن المتجهات A B ذي الحدد المشتركة يمثالن ضلعين من مثلث لتكن بينهما بتجيهه بشكل صحيح فإن الضلع الثالث ه أيضا : هي الزاية هذا باالعتماد على التفسير الهندسي للضرب النقطي )القياسي( حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 31

32 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1C المحددات 1C-1 1C-2 a) باستخدام المعامالت المساعدة للصف األل: b) باستخدام المعامالت المساعدة للعمد األل: 1C-3 إذا مساحة متازي األضال هي 3 مساحة المثلث هي 3/2 األضال هي بالتالي فإن مساحة متازي األضال هي 3 مساحة المثلث هي 3/2 1C-4 حدين تم إلغاؤهما أما الستة حدد الباقية فإنها على نفس طريقة ما كتب أعاله لكن لها إكارة مخالفة حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 32

33 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1C-5 b) مشابه 1C-6 عن طريق مفكك البالس باستخدام المعامالت المرافقة للصف األل 1C-7 رؤس المتجهين تقع على دائرة حدة مساحة متازي األضال التي يشكالنها تكن أكبر ما يمكن عندما يكنان عمديين على بعضهما بما أن المساحة = = أكبر ما يمكن عندما تكن لذلك أكبر قيمة للمحدد تساي مساحة مربع حدة تساي 0 1C-9 0 = )-0( = حجم متازي األسطح = حجم رباعي األسطح = )القاعدة متازي األسطح()االرتفا ) )القاعدة()االرتفا (= = )حجم متازي األسطح(= 1C-10 باعتبار جميع هذه المتجهات كمتجهات نقطة المبدأ حيث متازي األسطح المحصر بالمتجهات الثالثة هذه يساي صفر تقع في مستي فلذلك يكن حجم حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 33

34 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1D الضرب االتجاهي 1D-1 لذا 1D-2 مساحة المثلث: = 1D-3 : نحصل على المتجه الثالث )المجه بشكل صحيح( العمدي على باستخدام اجعل القيم السابقة متجهات حدة: 1D-4 هي الزاية بين حيث إذا المتجهين متعامدين 5-1D لكال السؤالين استخدم بالتالي منه )الزاية بين المتجهين( حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 34

35 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت على نقطة المبدأ فإن الحاف المتجارة تكن بالتالي األقطار باالستناد إلى ذلك فإن حجم متازي األسطح المحصر 1D-6 خذ المكعب بحيث تكن الثالثة للجه هي بهذه األقطار = = 0 1D-7 لدينا بالتالي فإن حجم متازي = 0 حجم رباعي األسطح= = األسطح = لذلك فإن أسطره بالترتيب اآلخر يمثل 1D-8 أحد المحددين يحتي على األسطر على الترتيب هي لتغيير المحدد األل إلى الثاني بدل بين السطر الثاني الثالث من ثم السطر األل بالثاني كل تبدي ل يجرى يضرب المحدد ب ) 0 -(استنادا إلى 1-D )انظر المالحظات D( لذلك محصلة التأثير الناتج من التبديلين المتتاليين هي ترك القيمة دن تغيير هكذا بحيث تصبح رؤسه على النقاط الثالثة 1D-9 a) ارفع المثلث إلى األعلى في المستي 0 )مساحة المثلث( حجم رباعي األسطح = )القاعدة()االرتفا (= ) حجم رباعي األسطح = )حجم متازي األسطح المحصر ب = )المحدد( لذلك فإن: مساحة المثلث = )المحدد( حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 35

36 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت -D طرح السطر األل من الثاني السطر األل من الثالث ال يغير من قيمة المحدد باالستناد إلى b) 4 لكنه يعطي التالي: عن طريق مفكك البالس باستخدام المعامالت المساعدة للعمد األخير لكن هذا المحدد 0 0 يعطي مساحة متازي األضال المحصر بالمتجهات التي تمثل ضلعين من مثلث المستي المثلث يساي نصف هذه المساحة حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 36

37 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1E المستقيمات المستيات 1E-1 بإزالة العامل المشترك 3 فإن المعادلة تصبح على الترتيب يصبح لدينا c) بتسمية النقاط الثالثة أ المعادلة )عبرالنقطة (: (d لذلك: يجب أن تكن عمدية على كل من (e المستي الذي يمر عبر من أجل هذه يكن: حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 37

38 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1E-2 الزاية لثنائية األسطح بين المستيين هي نفسها الزاية بين متجهيهما المتعامدين المتجهين المتعامدين بالتالي: هما على الترتيب لذلك فإن 1E-3 حيث أن المستقيم له نفس اتجاه المتجه المتعامد على المستي متجه االتجاه للمستقيم يجب أن يكن مازيا للمستي أي عمديا على المتجه المتعامد بالتالي فإن الجاب يصبح: (c أ بطريقة أفضل حيث هذا ألي قيمة 1E-4 المستقيم له متجه اتجاه فتكن معادالته السيطة هي: ثم عض بها في معادلة المستي ذلك إليجاد نقطة تقع على كل من المستقيم المستي: )أ( هكذا فإن النقطة )بعد التعيض في المعادالت السيطة( هي: 1E-5 المستقيم له اتجاه المتجه المتعامد على المستي بالتالي فإن معادالته السيطة هي: حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 38

39 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت بعد التعيض نجد أنه يتقاطع مع المستي عند : )أ( أي عند النقطة ه المتجه المتعامد مع المستي تقع على المستي 1E-6 لتكن النقطة في اتجاه المسافة التي نريدها هي طل متجه نقطة المبدأ العمدي على المستي ه نفسه مركبة هكذا فإننا نحصل على: )اختر اإلكارة التي تجعل المسافة مجبة( "المسافة من النقطة إلى المستي": معادلة المسااة األخيرة صحيحة طالما أن النقطة تحقق معادلة المستي حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 39

40 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1F جبر المصففة 1F-3 ( ) ( ) ( ) نريد جميع العناصر األربعة لعملية الضرب هذه أن تكن صفرا هذا يعطي المعادالت التالية: الحالة 1: منه فإن بالتالي الحالة 2: منه فإن الجاب: ) ( حيث أي: 1F-5 ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( خمن: ) ( ) ( برهان ذلك باالستقراء )باالستنباط(: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1F-8 ) ( ) ( ) ) إلخ ( ) ( ) ( ) حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 40

41 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت الجاب: ) ( 1F-9 بالنسبة لمدخالت ضرب المصففة فإنه لدينا: حيث أن { ) ) من ناحية أخرى باالستناد إلى مفهم ضرب المصففة: من المصففة ()العمد من المصففة = )الصف من المصففة () الصف من المصففة = )الصف حيث أن األطراف اليمنى في كل تعبير ل الصف له طل يساي 0 بينما عند يجب أن تكن متساية عندما تكن فإن الصفف المختلفة تكن متعامدة على بعضها فإنه يظهر أن حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 41

42 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1G حل األنظمة المربعة معكس المصففات 1G-3 ( ) ( ) ( ) حيث أن هي مصففة المعامالت المساعدة )انظر اإلكارات( لقد حسبنا أن لنحصل على هكذا فإن: هي بديلتها )المصففة المرافقة( ( ) ( ) ( ) ( ) 1G-4 النظام ه فيكن الحل أ ) ( ) ( ) ) بكتابة نظام المعادالت فإننا نحصل على: 1G-5 باستخدام قانن التجميع مفهم المعكس قانن المحايدة لذلك بشكل مشابه هي معكس حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 42

43 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1H قاعدة كارمر نظريات حل األنظمة المربعة 1H-1 1H-2 باستخدام قاعدة كارمر المحددات في البسط بالنسبة ل جميعها يحتي على عمد من األصفار لذلك هي ذات قيمة تساي صفر باالستناد إلى قانن المحدد 2-D 1H-3 a) الشرط الاجب ليصبح حلها غير صفر ه: باستخدام التفكيك يصبح لدينا: بمعنى آخر { لها حل غير بديهي إذا كانت أي إذا كانت بمعنى آخر أ خذ c) الثالثة هذه: المعادالت تقل أننا بحاجة إليجاد متجه عمدي على المتجهات المتجه العمدي على أل متجهين يساي: المتجه ه عمدي أيضا على : )بالحساب( هذا حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 43

44 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1H-5 { إذا كانت هي حل فإن: بالتخلص من فإننا نحصل على: الطرف األيسر يساي صفر كما تنص الفرضية لذا الطرف األيمن أيضا يساي صفر: ) بالعكس إذا كان له قيمة فإن الحل ه: )أ إذا كانت 1H-7 { لها حل حيد إذا كانت: الصيغة بمعنى آخر إذا كانت أي حيث األخيرة تتحقق فقط فقط إذا كانت أي عدد صحيح فإن المعادالت b) بما أن قابلة للحل فقط فقط إذا حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 44

45 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1I داالت المتجهات المعادالت السيطة 1I-1 بالتالي: لتكن 1I-2 a) طالما أن الحركة هي انعكاسية في المحر لحركة عكس عقارب الساعة االعتيادية فإن )إن هذه الحالة خاصة بعض الشيء الجزء ) يضح طريقة أكثر عممية في التطبيق( الزاية متجه المضع ه: عند الزمن ثم تتناقص خطيا بنسبة تغير لذلك فإن بالتعيض استخدام قانين النسب المثلثية من أجل فإننا نحصل على: )في قت الحق سنتمكن من معرفة اكتقاق خاص آخر ذلك بمالحظة أن هذه الحركة هي انعكاس في بالتالي بالنسبة لحركة عكس عقارب الساعة االعتيادية البادئة من الخط القطري في دالة متجه المضع: ذلك بتبديل سنحصل على متجه المضع ) 1I-3 فقط جزء هذا المستقيم الذي يقع بين ه الذي ي تبع ذهابا إيابا نتخلص من لنحصل على معادلة فيصبح لدينا: حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 45

46 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت فقط جزء القطع المكافئ المحصر بين ه المت بع ذهابا إيابا بالتخلص من نحصل على المنحنى ي ت بع بشكل (c كامل طالما تتزايد حيث تنتقل من إلى باسمممممممممطة قممممممممانن النسممممممممب المثلثيمممممممممة قممممممممم بممممممممالتخلص مممممممممن d) همممممممممذه همممممممممي معادلمممممممممة فتحصمممممممممل علمممممممممى التمممممممممالي القسمممممممم القطممممممع الزائمممممممد القسمممممممم األعلممممممى منمممممممه يتبمممممممع عنممممممدما تكمممممممن من ثم تتكرر السفلي يتبع عندما تكن 1I-4 حيث أن لذا أ 1I-5 ) حيث أن )راجع التمرين 1A-7a من أجل لذلك "الصياد" "األرنب الحظ أيضا أن 1I-6 لذا في الحقيقة ( حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 46

47 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت حيث أن القس له طل حدة هذا بعد القيام ببعض الجبر = = السهم = b) إنه أسهل من الناحية الحسابية تصغير مربع المسافة بين الصياد األرنب بدال من حساب المسافة نفسها حيث سف تحصل على نفس قيمة في كلتا الحالتين لتكن منه فإن عند 1I-7 لذلك حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 47

48 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1J مشتقات المتجه 1J-1 (c 1J-2 أي عند النقطة ال تجد هناك نقطة تكن عندها أصغر b) أكبر ما يمكن عند ما يمكن عندما أ فإن النقطة بالتعيض في فإننا نحصل بإكمال المربع نحصل على المعادلة c) متجه المضع يظهر منه بعد القيام ببعض الجبر على المعادلة ) ) التي تعبر عن دائرة ذات المركز نصف القطر ½ 1J-3 بإضافة األعمدة نحصل على: { حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 48

49 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1J-4 a) حيث أن النقطة تتحرك على الجسيم الكري لنقل ذات نصف القطر a باالكتقاق هذا ينص على أن لكل قيم أي أن لها الطل a لكل قيم نحصل على سلسلة من اآلثار المترتبة: b) باالستناد إلى الفرضية فإننا نحصل على: c) باستخدام أال النتيجة في التمرين 3-1J من ثم ) ثابت) هذا ي ظهر أن رأس يتحرك على جسيم كري ذ نصف قطر 1J-5 بالرج إلى 3-1J لذلك متجهات السرعة االتجاهية العجلة متعامدة على بعضها هذا يظهر أن السرعة ثابتة 1J-6 حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 49

50 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت b) بالحساب المباكر باستخدام المركبات نالحظ أن النظرية للتمرين 1J-5b هذا طالما أن السرعة ثابتة هذا صحيح أيضا من الناحية 1J-7 s إن المعيار ه أي إذا قسنا طل القس فتكن عند من ثم تتزايد مع : هكذا اختر بالتالي c) اختر لتكن أرقام غير سالبة بحيث يكن: 1J-8 اكتقاق هذا يعطي: إذا a) لتكن ( ) لذلك هذا بعد القيام بالحسابات حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 50

51 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1J-9 (c بالمعاينة إحداثيات للنقطة تحقق المعادلة التي تمثل معادلة مستي (d يمر بنقطة المبدأ e) حيث أنه في الجزء ) كانت النقطة تتحرك على سطح جسيم كري له نصف قطر 5 مركزه نقطة المبدأ من الجزء (d) النقطة أيضا تقع في مست يمر بنقطة المبدأ إذن مسارها يجب أن يكن تقاطع هذين السطحين الذي يمثل الدائرة الكبيرة ذات نصف القطر 5 على الجسيم الدائري 1J-10 استخدم نتائج التمرين 6-1J: a) باستخدام قاعدة السلسلة: لذا: حيث أن البسط على الطرف األيسر له القيمة فإننا نحصل على: الحلزن ه دائرة ذات نصف قطر تقع في المستي b) إذا كانت حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 51

52 إم أي تي التفاضل التكامل متعدد المتحالت 1K قانن كيبلر الثاني 1K-1 بإضافة األعمدة نحصل على: { 1K-2 في ب عدين لذا: حيث هما ثابت 1K-3 بالتالي: بما أن مركزية فإنه لدينا باستخدام قانن نيتن باالستناد إلى )7( (متجه ثابت انظر التمرين 2-K) السطر األخير )*( يظهر أن عمدية على لذلك فرأسها )النقطة P( تقع في المستي الذي يمر بنقطة المبدأ الذي يكن فيه ه المتجه المتعامد أيضا حيث أن: باالستناد إلى )0( باالستناد إلى )*( فإننا نستخلص أن: هذا يظهر المساحة الممسحة بنسبة ثابتة حل مجمعة 10- المتجهات المصففات 52